luni, 10 februarie 2014

Probleme de matematica cu capete si picioare







Pentru ca azi incepe semestrul II m-am gandit sa incep si eu saptamana cu niste probleme de matematica pe care le puteti intalni la diferite concursuri scolare.






Pentru ca toate aceste probleme dau numarul total de capete si de picioare, le mai puteti gasi pe internet cu aceasta denumire. Din punct de vedere matematic ele se incadreaza la probleme care se rezolva prin metoda  falsei ipoteze.


Exemplul 1: 

Un fermier are in gospodaria sa cai si rate. Cati cai si cate rate are, daca numarul total de capete este 8 si numarul de picioare 22?  

Aceasta problema se rezolva pornind de la o presupunere (ipoteza falsa): ce ar fi daca in gospodarie ar exista:
a) doar rate  - Var. I
b) doar cai   - Var II


Var. I
 Presupunem ca in gospodarie ar fi doar rate,

(... cel mai bine este sa desenam putin pentru a ajuta copilul sa priceapa, 8 capete la care punem cate doua piciare - sper ca voi aveti mai mult talent la desen decat mine ...)




deci cate picioare ar fi:

8 capete rate x 2 picioare = 16 picioare de rata,

dar presupunerea noastra nu este corecta deoarece in gospodarie sunt si cai de aceea avem 22 de picioare, nu doar 16.

Ne intoarcem la desen si punem doua picioare la ultimul cap (nu putem modifica numarul de capete) - adaugam doar doua picioare pentru ca desenul are deja 2, iar adunandu-le vom forma 4 picioare si vom transforma rata in cal. 




De la acest punct putem continua:

A) fie pe desen adaugand picioare pana ajungem la totalul de 22 


16 + 2 = 18, 18 + 2 = 20, 20 + 2 = 22 picioare 

deci avem 5 rate si 3 cai.


B) fie matematic adica 22 - 16 = 6, daca adaugam cate 2 picioare suplimentar la fiecare cap, atunci

6 : 2 = 3, deci vom adauga la 3 capete  => 3 cai 

8 capete - 3 capete de cal = 5 capete de rata  => 5 rate

R: 3 cai, 5 rate


Var. II
 Presupunem ca in gospodarie ar fi doar cai,

(in acest caz desenam tot 8 capete, dar le punem cate 4 picioare)



deci cate picioare ar fi:

8 capete cai x 4 picioare = 32 picioare de cal,

dar presupunerea noastra nu este corecta deoarece in gospodarie sunt si rate de aceea avem 22 de picioare, nu 32, cat ne-a dat noua.

Ne intoarcem la desen si stergem doua picioare de la primul cap (nu putem modifica numarul de capete) - astfel vom avea doua picioare si o rata in loc de cal. 

A) Si asa mai departe, mai stergem doua si alte doua pe desen pana ajungem la 22 de picioare:


32 - 2 = 30, 30 - 2 = 28, 28 - 2 = 26, 26 - 2 = 24, 24 - 2 = 22 picioare

Rezultatul este 5 rate si 3 cai

B) Varianta pe baza calculelor este:

32 - 22 = 10

10 : 2 = 5  =>  de la 5 capete am sters cate doua picioare deci sunt 5 rate

8 capete - 5 capete de rata = 3 capete de cal

R: 3 cai, 5 rate

Verificare: 3 x 4 + 5 x 2 = 12+10=22 (picioare)  //   3 + 5 = 8 (capete)



Cu aceasta metoda rezolvarea a devenit extrem de simpla.


Exemplul 2
Problema poate fi putin mai complicata ca in exemplul de mai jos, dar rationamentul ramane acelasi si se adauga operatii suplimentare:

"Un gospodar a vandut in piata rate si iepuri, in total 7 capete si 22 de picioare. Pentru o rata a primit 18 lei, iar pentru un iepure 21 de lei. Cati bani a incasat gospodarul?" (Matematica, Culegere de exercitii si probleme pentru clasa a IV-a, Mariana Mogos si Stefan Pacearca, Editura Aramis, pag. 50)


Rezolvare:

pp. ca exista doar rate

7 (capete) x 2 (picioare) = 14 (picioare de rata)

22 (picioare) - 14 (picioare de rata) = 8 (picioare in plus)

8 (picioare in plus) : 2 (picioare adaugate la fiecare cap) = 4 (capete de rata transformate in iepure) => 4 iepuri

7 (capete) - 4 (capete de iepure) = 3 (capete de rata) => 3 rate

Cati bani a incasat gospodarul?

4 (iepuri) x 21 (bani primiti pe un iepure) + 3 (rate) x 18 (bani primiti pe o rata)= 84 + 54 = 138 (bani)

R: 138 bani



"Injumatatirea picioarelor" 

Cand cautam materiale utile pentru cei care sunt interesati, am dat de un comentariu pe un forum care ofera o metoda interesanta de rezolvarea a acestui tip de probleme pe care o voi explica mai jos pe exemplul meu (sursa - forum pro-didactica.ro, comentariul care incepe asa: "Am citit undeva (nu-mi amintesc unde, din păcate) o soluţie dată de un elev deştept. Să presupunem că intrând în ogradă surprindem animalele stând mai ciudat: găinile într-un picior iar porcii pe picioarele din spate. ...")

Deci, daca aplic aceasta idee la prima problema de mai sus si afirm ca ratele stau intr-un picior si caii pe picioarele din spate, atunci voi avea 22 : 2 = 11 picioare,

(adica injumatatesc picioarele unei rate 2:2=1, ale unui cal 4:2=2, precum si totalul 22:2=11;
matematic este o simplificare cu 2, care se studiaza in clasa a V-a insa, adica a + b = 22, a/2 +b/2=22/2 - Aceasta metoda se potriveste pentru picioare deoarece sunt intotdeauna multiplu de 2, nu merge pentru alte probleme unde apar 3 camere sau scaune cu trei picioare etc.)

mai departe, pentru a rezolva, stiu ca numarul de capete este 8, aplicand tot rationamentul de mai sus daca ar avea toate 1 picior, am avea 8 picioare, atunci 11-8=3 => aflam astfel, mai repede, cei 3 cai, care stateau in doua picioare.




Alte materiale utile pentru acest tip de probleme:
  • sinteza interesanta a tuturor tipurilor de probleme care se pot intalni in ciclul primar, cu exemple rezolvate si consideratii metodologice si psihologice.
  • o superba fisa ce cuprinde un plan lacunar de rezolvarea a problemei, adica pas cu pas se realizeaza familiarizarea copilului cu acest gen de probleme - chiar e reusita ideea.
  • de aici mi-a placut ideea aceasta de a adauga in datele problemei numarul de ochi pentru a complica situatia (Un ingrijitor de la gradina zoologica a fost intrebat cate camile si struti sunt in gradina zoologica. Raspunsul ingrijitorului precizeaza ca sunt 60 de ochi si 86 de picioare. Intrebarea problemei fiind cate animale sunt din fiecare.) 
  • pe acest blog am gasit o problema sub forma de poezie - superba - este cea cu vaci si gaini si este chiar ce ne trebuie.
  • o alta problema interesanta cu bilete la cocert, iar rezolvarea se face cu intrebari pentru fiecare operatie.
  • daca va place o problema de acest tip, dar cu dragoni cu unu si trei capete prezentati atractiv intr-un slideshow, puteti da click aici , dar asta nu e tot o alta problema de acest tip o gasiti integrata prin cateva notiuni de istorie si limba romana (trebuie sa recunosc ca imi place predarea interdisciplinara abordata asa).


Mai puteti citi pe acest blog:





Cum sa rezolvam algebric?





2 comentarii:

Pe acest blog vor fi afisate doar comentariile care folosesc un limbaj adecvat si au legatura cu subiectele prezentate.

Vrei sa imi citesti postarile direct in casuta ta postala?